![21年春福师《实变函数》在线作业一[答案]](/uploads/allimg/240109/361ef782d86403a626b3bdc92a0da549.jpg)
21年春福师《实变函数》在线作业一[答案]满分答案
福师《实变函数》在线作业一-0002
试卷总分:100 得分:100
一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分)
1.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
2.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
3.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
4.测度为零的集称为零测集.
5.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].
6.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
7.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
8.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
9.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
正确答案:-----
正确答案:-----
10.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
11.对R^n中任意点集E，EE'必为可测集.
12.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
13.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
14.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
15.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
16.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
正确答案:-----
17.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
21.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
正确答案:-----
19.f可积的充要条件是f+和f-都可积.
20.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
21.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
正确答案:-----
22.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
23.f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].
24.连续函数和单调函数都是有界变差函数.
25.设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
26.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
27.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
正确答案:-----
28.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
29.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
30.若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
31.零测度集的任何子集都是可测集.
32.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
33.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
34.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
正确答案:-----
35.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
36.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.
37.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
21年春福师《实变函数》在线作业一[答案]多选题答案
二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分)
38.下列关系式中不成立的是（ ）
A.f(∪Ai)=∪f(Ai)
B.f∩(Ai)=f(∩Ai)
C.(A∩B)0=A0∩B0
D.(∪Ai)c=∩(Aic)
正确答案:-----
39.有限个可数集的乘积集是（ ）
A.有限集
B.可数集
C.有连续统势的集
D.基数为2^c的集
正确答案:-----
40.fn->f,a.e.,则
A.fn依测度收敛于f
B.fn几乎一致收敛于f
C.fn一致收敛于f
D.|fn|->|f|,a.e.
正确答案:-----
41.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
A.mE=0
B.0<mE<+∞
C.mE=+∞
D.0<=mE<=+∞
正确答案:-----
42.若A为R^n中一疏集，则（ ）
A.Ac为稠集
B.A为开集
C.A为孤立点集
D.A不完备
正确答案:-----
三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)
43.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则
A.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B.若E1包含于E2,mE1<=mE2
C.若E1包含于E2,m(E2E1)=mE2-mE1
44.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
A.广义R可积
B.不是广义R可积
C.L可积
D.不是L可积
正确答案:-----
45.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
A.f+g不可测
B.fg不可测
C.g^2可测
D.|g|可测
正确答案:-----
46.若f∈BV[a,b]，则（ ）
A.f为有界函数
B.Vax(f)为增函数
C.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D.f至多有可数个第一类间断点
正确答案:-----
47.设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）
A.几乎处处可微
B.L可积
C.f'可积
D.区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
正确答案:-----
48.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A.是L可测函数
B.不是L可测函数
C.有界函数
D.连续函数
正确答案:-----
49.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）
A.m(A)<m(B)
B.m(A)<=m(B)
C.m(BA)=m(A)
D.m(B)=m(A)+m(BA)
正确答案:-----
50.若f,g是有界变差函数，则（ ）
A.f+g有界变差函数
B.fg有界变差函数
C.f/g有界变差函数
D.max(f,g)有界变差函数
正确答案:-----
21年春福师《实变函数》在线作业一[答案]历年参考题目如下：
福师《实变函数》在线作业一-0004
试卷总分:100 得分:100
一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分)
1.f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].
2.当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
3.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
4.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
5.若f有界且m(X)<∞,则f可测。
6.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
7.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
8.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
9.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
10.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
11.测度为零的集称为零测集.
12.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
13.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.
14.若f可测，则|f|可测，反之也成立.
15.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
16.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
17.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
18.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
19.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.
20.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
21.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
22.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
23.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
24.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
25.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
26.g的连续点是L点，但L点未必是连续点.
27.连续函数和单调函数都是有界变差函数.
28.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
29.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
30.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
31.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
32.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
33.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
34.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
35.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
36.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
37.f,g∈M(X),则fg∈M(X).
二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分)
38.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A.非充分非必要条件
B.必要条件
C.充要条件
D.充分条件
39.开集减去闭集其差集是（ ）
A.非开非闭集
B.闭集
C.既开既闭集
D.开集
40.下列关系式中不成立的是（ ）
A.f(∪Ai)=∪f(Ai)
B.f∩(Ai)=f(∩Ai)
C.(A∩B)0=A0∩B0
D.(∪Ai)c=∩(Aic)
41.fn->f,a.e.,则
A.fn几乎一致收敛于f
B.fn依测度收敛于f
C.fn一致收敛于f
D.|fn|->|f|,a.e.
42.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A.连续函数
B.绝对连续函数
C.有界变差函数
D.单调函数
三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)
43.若f∈AC[a,b]，则（ ）
A.f(x)=f(a)+∫ax f '(t)dt
B.f∈Lip[a,b]
C.f∈C[a,b]
D.f∈BV[a,b]
44.若f∈BV[a,b]，则（ ）
A.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
B.f至多有可数个第一类间断点
C.f为有界函数
D.Vax(f)为增函数
45.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
A.积分具有绝对连续性
B.有L积分值
C.广义R可积
D.L可积
46.若f,g是有界变差函数，则（ ）
A.max(f,g)有界变差函数
B.fg有界变差函数
C.f/g有界变差函数
D.f+g有界变差函数
47.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
A.广义R可积
B.不是广义R可积
C.不是L可积
D.L可积
48.若0<=g<=f且f可积，则（ ）
A.当g可测时g必可积
B.g可积
C.g可测
D.g<∞，a.e.
49.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则
A.若E1包含于E2,m(E2E1)=mE2-mE1
B.若E1包含于E2,mE1<=mE2
C.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
50.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
A.|f|可积
B.f可测
C.|f|<∞.a.e.
D.f^2可积
