22春西南大学[0158]《高等代数》课程作业答案[答案]

1、在矩阵运算中，任何两个矩阵都可以进行加法运算。
. A.√
. B.×??



2、A,B为两个n阶矩阵，则A+B的行列式等于A的行列式与B的行列式之和。
. A.√
. B.×??



3、设多项式f(x)|g(x)，c是一个非零常数，则cf(x)|g(x)。
. A.√??
. B.×



4、设A是矩阵，A的秩等于3，则A的列向量一定线性相关。
. A.√??
. B.×



5、一个齐次线性方程组的两个解向量的和仍是该方程组的一个解向量。
. A.√??
. B.×



6、设A是n阶矩阵，如果A可经过初等行变换变成单位矩阵，那么A是可逆的。
. A.√??
. B.×



7、在一个n阶行列式中，若有某两行的元素相同，则行列式的值等于零。
. A.√??
. B.×



8、设A是n阶矩阵，若非齐次线性方程组AX=B无解，则|A|=0。
. A.√??
. B.×



9、设A是5阶矩阵，A的秩等于3，则A的4阶子式全为零。
. A.√??
. B.×



10、矩阵
. A.√
. B.×??



11、在一个n阶行列式中，若有某两行的元成比例，则行列式的值为零。
. A.√??
. B.×



12、一个n阶矩阵如果能与一个对角矩阵相似，那么它一定有n个互不相同的特征值。
. A.√
. B.×??



13、在欧氏空间中，两个单位向量的和向量一定不是单位向量。
. A.√
. B.×??



14、设V是n维线性空间，W是V的m维子空间，是V的基，则是W的基。
. A.√
. B.×??



15、设A是可逆矩阵，交换A的第一行和第二行得矩阵B，则B也是可逆矩阵。
. A.√??
. B.×



16、设A，B为n阶矩阵，r(A)表示A的秩，则r(AB)=r(A)r(B)。
. A.√
. B.×??



17、根据Eisenstein判别法，多项式在实数域R上是不可约的。
. A.√
. B.×??



18、根据整除的定义可知，零多项式只能整除零多项式。
. A.√??
. B.×



19、一个非齐次线性方程组的两个解向量的和仍是该方程组的解向量。
. A.√
. B.×??



20、设是线性空间V的两个子空间，若。
. A.√
. B.×??



21、设W是线性空间V的子空间，。
. A.√??
. B.×



22、设A是n阶矩阵，|A|=0，E是n阶单位矩阵，则|A+E|=1。
. A.√
. B.×??



23、在一个n阶矩阵中，若它的行向量线性相关，则它的列向量也线性相关。
. A.√??
. B.×



24、在一个5维线性空间中，两个2维子空间的和空间一定是4维的。
. A.√
. B.×??



25、若多项式g(x)|f(x)，则g(x)为f(x)与g(x)的一个最大公因式。
. A.√??
. B.×



26、如果一个向量组线性相关，那么它的任一部分组也线性相关。
. A.√
. B.×??



27、若2为n阶矩阵A的特征值，3为n阶矩阵B的特征值，则5为矩阵A+B的特征值。
. A.√
. B.×??



28、在欧氏空间中，正交变换把正交的向量变成正交的向量。
. A.√??
. B.×



29、若向量组线性相关，则
. A.√
. B.×??



30、设为一个向量组，由于，所以线性无关。
. A.√
. B.×??



31、如果一个二次型是正定的，那么它的函数值恒大于零。
. A.√
. B.×??



32、设A是线性空间V的线性变换，若有非零向量，则A不可逆。
. A.√??
. B.×



33、由代数基本定理可知实数域上n次多项式一定有n个实根。
. A.√
. B.×??



34、数域P上两个不可约多项式的积一定是可约多项式。
. A.√??
. B.×



35、如果两个n阶矩阵的秩相同，那么它们一定合同。
. A.√
. B.×??



36、两个向量组等价的充要条件是它们的秩相等。
. A.√
. B.×??



37、在线性空间中，如果一个线性变换把子空间变成子空间，则它一定是可逆线性变换。
. A.√
. B.×??



38、设，若f(x)与g(x)互素，则(f(x),g(x))=1。
. A.√??
. B.×



39、设为一个向量组，若，则线性相关。
. A.√??
. B.×



40、一个3维线性空间只有4个不同的子空间，它们的维数分别为0，1，2，3。
. A.√
. B.×??



41、在线性空间V中，若向量线性无关，线性无关，则也线性无关。

. A.√
. B.×??



42、若A，B为n阶对角形矩阵，则AB=BA。
. A.√??
. B.×


主观题
43、四级排列4321的逆序数是?? ? ? ? ?。
参考答案：
6



44、设A是3阶矩阵，|A|=2，则|3A|=?? ? ? ??。
参考答案：
54



45、若是正定二次型，则d满足的条件是?? ? ? ? ??。
参考答案：




46、设3阶矩阵A的特征值为1，2，b，若A不可逆，则b=?? ? ? ? ? ? ?。
参考答案：
0



47、在向量组中，，则的秩等于?? ? ? ? ? ?。
参考答案：
2



48、设A是n阶矩阵，|A|=5，将A的第一行的3倍加到第二行得矩阵B，则|B|=?? ? ? ? ?。
参考答案：
5



49、在1，2，3，4构成的所有四级排列中，有?? ? ? ? ?个偶排列。
参考答案：
12



50、设A是矩阵，B是矩阵，若AB可逆，则m，n的关系是?? ? ? ? ?。
参考答案：




51、设，则f(x)的所有系数的和等于?? ? ? ??。
参考答案：
3



52、若，则c=?? ? ? ? ? ? ? ??。
参考答案：
-1



53、设A,B为3阶矩阵，A是可逆的，B的秩等于2，则AB的秩等于?? ? ? ? ??。
参考答案：
2



54、在3维线性空间中，向量(2,0,-1)的负向量是?? ? ? ? ??。
参考答案：
(-2,0,1)



55、设，求g(x)除f(x)的商式和余式。

参考答案：
解：做综合除法：
　　　　　　1   -6   3   16
      3      3   -9   -18
　　　　　1   -3   -6   -2
所以g(x)除f(x)的商式为：，余式为：-2。……15分






56、设，为A的一个特征向量，求a的值。

参考答案：
解：设是A的属于特征值的特征向量，则，……6分
于是
，……10分
所以，解得，所以a = 3。……15分





57、设(1,1,1,1)是下面的线性方程组的一个解：，求a，b，c的值。

参考答案：
解：由(1,1,1,1)是方程组的一个解得：
，…………8分
所以a = 0，b = 3，c = -2。…………15分





58、设，2阶矩阵X满足，求X。

参考答案：
解：因为，而，所以是可逆的。……5分
又，于是
。……10分
由于，所以
=。……15分
59、设是齐次线性方程组AX = 0的两个解向量，证明也是AX = 0的解向量。

参考答案：
证明：由已知条件有，……3分
所以
，……7分
所以是AX = 0的解向量。…………8分






60、设A是线性空间V的线性变换，，证明：若线性无关，则线性无关。
证明：设，则
，……4分
由于线性无关，所以，
所以线性无关。…………8分











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一、判断题 (共 50 道试题,共 100 分)

1.

 

2.

 

3.试题如图{图}

 

4.

 

5.若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比例．

 

6.

 

7.两个对称矩阵不一定相似。

 

8.设Am×n为实矩阵,则线性方程组Ax=0只有零解是矩阵A’A为正定矩阵的充要条件

 

9.

 

10.若矩阵A的秩是r，则A的所有高于r 级的子式（如果有的话）全为零．

 

11.

 

12.若x∈A∪B,则x∈A且x∈B

 

13.

 

14.

 

15.齐次线性方程组解的线性组合还是它的解．

 

16.两个有限维向量空间同构的充要条件是维数相同.

 

17.若n阶方阵A可对角化，则A有n个线性无关的特征向量

 

21.

 

19.

 

20.

 

21.有理数域上任意次不可约多项式都存在

 

22.相似矩阵有相同的特征多项式。

 

23.双射既是单射也是满射

 

24.若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列．

 

25.在全部n（n>1）级排列中，奇排列的个数为n!/2．

 

26.

 

27.

 

28.

 

29.

 

30.如果A是正交矩阵，k为实数，要使kA为正交矩阵，则k等于1或-1

 

31.

 

32.

 

33.正交矩阵的行列式等于1或-1

 

34.试题如图{图}

 

35.

 

36.

 

37.齐次线性方程组永远有解

 

38.若f(x), g(x), u(x), v(x) 都是F[x] 中的多项式, 且 u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1,则 (f(x), g(x)) = 1.

 

39.排列 （1，2，3，4，...,2006)是一个偶排列

 

40.

 

41.两个等价的向量组，一定包含相同个数的向量。

 

42.等价向量组的秩相等

 

43.对n个未知量n个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解．

 

44.

 

45.

 

46.

 

47.

 

48.相似关系和合同关系都是矩阵之间的等价关系，二者是一回事

 

49.(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)构成为3维向量空间的一个基

 

50.对n个未知量n个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解．