21年春福师《实变函数》在线作业二[答案]
时间:2021-06-30 07:53 来源:奥鹏教育 作者:奥鹏作业答案 点击:次
21年春福师《实变函数》在线作业二[答案]满分答案 福师《实变函数》在线作业二-0001 试卷总分:100 得分:100 一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分) 1.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
2.连续函数和单调函数都是有界变差函数.
3.零测度集的任何子集都是可测集.
4.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。
5.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
6.f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].
7.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
8.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
9.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
10.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
11.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
12.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
13.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
14.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
15.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
16.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) . 正确答案:-----
17.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。 正确答案:-----
21.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
19.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
20.若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].
21.若f∈BV,则f有界。
22.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
23.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
24.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
25.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。 正确答案:-----
26.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
27.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
28.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
29.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
30.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
31.测度为零的集称为零测集.
32.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
33.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
34.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) . 正确答案:-----
35.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
36.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
37.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
21年春福师《实变函数》在线作业二[答案]多选题答案 二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分) 38.若|A|=|B|,|C|=|D|,则 正确答案:----- A.|A∪C|=|B∪D| 正确答案:----- 正确答案:----- 正确答案:----- B.|A∩C|=|B∩D| C.|AC|=|BD| D.当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D| 正确答案:-----
39.若A为R^n中一疏集，则（ ） A.Ac为稠集 B.A为开集 C.A为孤立点集 D.A不完备 正确答案:-----
40.若f∈L(X),则 A.f在X上几乎处处连续 B.存在g∈L(X)使得|f|<=g C.若∫Xfdu=0,则f=0,a.e. 正确答案:-----
41.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测. A.mE=0 B.0<mE<+∞ C.mE=+∞ D.0<=mE<=+∞ 正确答案:-----
42.开集减去闭集其差集是（ ） A.闭集 B.开集 C.非开非闭集 D.既开既闭集 正确答案:-----
三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分) 43.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ） A.f可测 B.|f|可积 C.f^2可积 D.|f|<∞.a.e. 正确答案:-----
44.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ） A.m(A)<m(B) B.m(A)<=m(B) C.m(BA)=m(A) D.m(B)=m(A)+m(BA) 正确答案:-----
45.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上 A.广义R可积 B.不是广义R可积 C.L可积 D.不是L可积 正确答案:-----
46.设f为[a,b]上增函数，则f为（ ） A.几乎处处可微 B.L可积 C.f'可积 D.区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a) 正确答案:-----
47.若0<=g<=f且f可积，则（ ） A.g可积 B.g可测 C.g<∞，a.e. D.当g可测时g必可积 正确答案:-----
48.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上 A.有L积分值 B.广义R可积 C.L可积 D.积分具有绝对连续性 正确答案:-----
49.设f为[a,b]上减函数，则f为（ ） A.有界函数 B.可测函数 C.有界变差函数 D.绝对连续函数 正确答案:-----
50.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则 A.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2 B.若E1包含于E2,mE1<=mE2 C.若E1包含于E2,m(E2E1)=mE2-mE1
21年春福师《实变函数》在线作业二[答案]历年参考题目如下： 福师《实变函数》在线作业二-0003 试卷总分:100 得分:0 一、 判断题 (共 37 道试题,共 74 分) 1.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。 A.错误 B.正确
2.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖. A.错误 B.正确
3.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点. A.错误 B.正确
4.存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等． A.错误 B.正确
5.可数集的测度必为零，反之也成立. A.错误 B.正确
6.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数. A.错误 B.正确
7.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。 A.错误 B.正确
8.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。 A.错误 B.正确
9.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV. A.错误 B.正确
10.对R^n中任意点集E，EE'必为可测集. A.错误 B.正确
11.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集. A.错误 B.正确
12.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分. A.错误 B.正确
13.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。 A.错误 B.正确
14.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积. A.错误 B.正确
15.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数. A.错误 B.正确
16.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) . A.错误 B.正确
17.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。 A.错误 B.正确
18.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数. A.错误 B.正确
19.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。 A.错误 B.正确
20.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。 A.错误 B.正确
21.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV. A.错误 B.正确
22.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续. A.错误 B.正确
23.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数. A.错误 B.正确
24.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b]. A.错误 B.正确
25.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空. A.错误 B.正确
26.若A交B等于空集，则A可测时必B可测. A.错误 B.正确
27.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集. A.错误 B.正确
28.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞ A.错误 B.正确
29.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并. A.错误 B.正确
30.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性. A.错误 B.正确
31.测度为零的集称为零测集. A.错误 B.正确
32.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。 A.错误 B.正确
33.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f). A.错误 B.正确
34.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。 A.错误 B.正确
35.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。 A.错误 B.正确
36.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f. A.错误 B.正确
37.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) . A.错误 B.正确
二、 单选题 (共 5 道试题,共 10 分) 1.若A为R^n中一疏集，则（ ） A.Ac为稠集 B.A为开集 C.A为孤立点集 D.A不完备
2.有限个可数集的乘积集是（ ） A.有限集 B.可数集 C.有连续统势的集 D.基数为2^c的集
3.若|A|=|B|,|C|=|D|,则 A.|A∪C|=|B∪D| B.|A∩C|=|B∩D| C.|AC|=|BD| D.当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
4.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测. A.mE=0 B.0<mE<+∞ C.mE=+∞ D.0<=mE<=+∞
5.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的 A.连续函数 B.单调函数 C.有界变差函数 D.绝对连续函数
三、 多选题 (共 8 道试题,共 16 分) 1.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则 A.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2 B.若E1包含于E2,mE1<=mE2 C.若E1包含于E2,m(E2E1)=mE2-mE1
2.A，B是两个集合，则下列正确的是（ ） A.f^-1(f（A）)=A B.f^-1(f（A）)包含A C.f(f^-1（A）)=A D.f(AB)包含f(A)f(B)
3.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ） A.f在R上处处不连续 B.f在R上为可测函数 C.f几乎处处连续 D.f不是可测函数
4.若f∈BV[a,b]，则（ ） A.f为有界函数 B.Vax(f)为增函数 C.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f) D.f至多有可数个第一类间断点
5.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ） A.m(A)<m(B) B.m(A)<=m(B) C.m(BA)=m(A) D.m(B)=m(A)+m(BA)
6.若f,g是有界变差函数，则（ ） A.f+g有界变差函数 B.fg有界变差函数 C.f/g有界变差函数 D.max(f,g)有界变差函数
7.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上 A.广义R可积 B.不是广义R可积 C.L可积 D.不是L可积
8.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ） A.f+g不可测 B.fg不可测 C.g^2可测 D.|g|可测 (责任编辑：admin) |
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